Esta expresión se usa como metáfora. Un palo es un trozo de madera sacado de los árboles. Una astilla es un pequeño trozo de madera que se desprende del palo cuando es cortado. Esas astillas tienen las mismas características que el palo ya que son simplemente pedazos pequeños que se desprenden del mismo palo. En la expresión, el palo sería el padre o la madre y la astilla sería el hijo o hija.
El origen de esta expresión parece venir de una expresión latina, Qualis pater talis filius, la que curiosamente guarda más relación con la expresión en inglés. Una expresión equivalente en inglés sería "like father, like son" o "the apple doesn't fall far from the tree".
Ejemplo 1:
El hijo de Miguel ha sido nombrado "Mejor Cocinero del 2010" por la revista Cocina como lo fue su padre en el 2006. Ya lo dice el refrán que de tal palo tal astilla.Miguel's son has been named "Best Cook 2010" by the magazine Cocina as his father was in 2006. As the saying goes like father, like son.
Ejemplo 2:
Jaime acabó en la cárcel por robar en tiendas, traficar con drogas y amenazar a gente y, por desgracia, ahora su hijo está siguiendo el mismo camino. ¡Ay, de tal palo tal astilla!Jaime ended up in jail for shoplifting, drug dealing and threatening people and, unfortunately, now his son is following the same path. Ah, like father, like son!