Esta expresión no tiene un origen particular como otras expresiones pero el hecho de que una mosca no entre en tu boca es muy gráfico. Es muy desagradable que una mosca entre en tu boca por lo que para que eso no suceda, se cierra la boca y así eso nunca sucederá. El símil está en que la mosca es el problema que puede aparecer si se abre la boca para decir algo que no se debe.
Una expresión equivalente en inglés sería "silence is golden" o "the less said, the better".
Ejemplo 1:
Las palabras del presidente sobre el ataque terrorista no tranquilizaron a la población sino que les preocupó aún más. Alguien le debió decir que en boca cerrada no entran moscas.The president's words about the terrorist attack to reassure the population but were even more concerned. Someone should have told him that the less said, the better.
Ejemplo 2:
Ya sabes que en boca cerrada no entran moscas así que no puedes contar nada de lo que pasó anoche. Alguien se podría enfadar.You know that the less said, the better so don't say anything about what happened last night. Someone could get mad.
Ejemplo 3:
Como en boca cerrada no entran moscas, mejor me voy a guardar para mí mismo lo que opino de este asunto.Since the less said, the better, I'd rather keep to myself what I think about this matter.